Ôn tập học kì 1 môn toán.

      PHẦN ĐẠI SỐ        Người thực hiện: Nguyễn Minh Quang

CHƯƠNG I: MỆNH ĐỀ. TẬP HỢP:

A:Mệnh đề:

I) khái niệm:

-mỗi mệnh đề phải đúng hoặc sai. Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

II) Phủ định của một mệnh đề:

-Kí hiệu mệnh đề phủ định của P là  P , ta có P đúng khi P sai, P sai khi P đúng

III) Mệnh đề kéo theo: 

-Mệnh đề “nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo, và kí hiệu P => Q (P=>Q chỉ sai khi P đúng và Q sai)

                              ( P là giả thiết, Q là kết luận của định lý, hoặc

                                P là điều kiện để có Q, hoặc

                                Q là điều kiện cần để có P )

IV) Mệnh đề đảo – Hai mệnh đề tương đương:

-nếu cả hai mệnh đề P=> Q và Q=>P đều đúng thì ta nói cả P và Q là hai mệnh đề tương tương đương.

 Khi đó ta kí hiệu P=>Q và đọc là

P tương đương Q, hoặc

P là điều kiện cần đủ để có Q, hoặc

P khi và chỉ khi Q

V) kí hiệu * tồn tại* và * với mọi* các bạn tự học nhá :P

B: Tập hợp

I) khái niệm:

-Tập hợp( tập ) là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa

II) Vậy ta có thể xác định một tập hợp bằng một trong hai cách sau:

1_liệt kê các phần tử của nó

2_chỉ ra các tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.

III) Tập hợp rỗng:

-là tập hợp không chứa phần tử nào (  kí hiệu Ø )

IV) Tập hợp con: ( © )

-Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập hợp con của B  ( đọc là A chứa trong V )

V) Tập hợp bằng nhau:

- khi A © B và B © A tì ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết là A = B

VI) Các phép toán tập hợp :

1_Giao của 2tập hợp: Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và B  ( C = A ∩ B )

2_Hợp của 2 tập hợp: Tập C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B ( C = A U B )

3_Hiệu và phần bù của 2 tập hợp:+Tập hợp C gồm các phần tử A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và B ( C = A\B )

+ Khi B © A thì A\B gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu C_AB

V) Các tập hợp số: ( N; N^*; Z; Q; R )

C: Quy tròn số gần đúng

I) Quy tắc làm tròn số:

-Nếu chữ số sau hàng quy tròn < 5 => thay nó và các chữ số bên phải nó bởi số 0

-Nếu chữ số sau hàng quy tròn > 5 => làm như trên và chỉ cộng thêm 1 đơn vị vào chữ số của hàng quy tròn.

CHƯƠNG II: HÀM SỐ:

A: Hàm số

I) khái niệm:

-Nếu mỗi giá trị của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương đương của y thuộc tập số thực R thì ta có một hàm số. Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x.

-Tập D là tập xác định của hàm số.

-Tập xác dịnh của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.

II) Đồ thị của hàm số:

-Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M( ;f(x) ) trên mặt phẳng tọa độ với mọi x thuộc D.

III) Sự biến thiên của hàm số:

-Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu:

                       Mọi x₁; x₂ Є (a;b) : x₁; x₂ => f(x₁) < f(x₂)

-Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu:

                       Mọi x₁; x₂ Є (a;b) : x₁; x₂ => f(x₁) >f(x₂)

IV) Bảng biến thiên:

-Để diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng ( -∞; +∞ ) ta vẽ mũi tên đi xuống ( từ +∞ đến 0).

-Để diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; +∞)ta vẽ mũi tên đi lên ( từ 0 đến +∞ ).

-Nhìn vào bảng biến thiên, ta có sơ đồ hình dung được đồ thị hàm số ( đi lên trong khoảng nào, đi xuống trong khoảng nào ).

V) Tính chẵn lẻ của hàm số:

1_Hàm số chẵn , hàm số lẻ:

-Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu:

                      Mọi x Є D thì –x Є D và f(-x) = f(x).

-Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu:

                      Mọi x Є D thì –x Є D và f(-x) = -(x).

2_Đồ thị của hàm số chẵn và hàm số lẻ:

-Đồ thị một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

-Đồ thị một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

B Hàm số y = ax + b

I) Ôn tập hàm số bậc nhất:

׀-Chiều biến thiên: +) với a>0 hàm số đồng biến trên R.

                                +) với a<0 hàm số nghịch biến trên R.

Bảng biến tiên: +) a>0 ta vẽ mũi tên đi lên ( từ -∞; +∞)

                           +) a<0 ta vẽ mũi tên đi xuống ( từ +; -∞)

II) Hàm số hằng:

-Đồ thị hàm số y = b là một đường song song hoặc trùng với trục hoàng và cắt trục tung tại điểm (0 ; b). Đường thẳng này gọi là đường thẳng

y = b.

III) Hàm số y = ׀x ׀

1_Tập xác định với mọi giá trị của x tức là D = R

2_Chiều biến thiên:

-Ta có: y = ׀x ׀ = x nếu x ≥ 0

                          -x nếu x < 0.

-Hàm số y = ׀x ׀ nghịch biến trên khoảng (-∞;0) và

                            Đồng biến trên khoảng (0;+∞).

3_Đồ thị:

-Hàm số y = ׀x ׀ là một hàm số chẵn, đồ thị của nó nhận trục Oy làm trục đối xứng.

C:Hàm số bậc 2: y = ax² +bx + c

I)Đồ thị :

-Đồ thị của hàm số y = ax² +bx + c (a khác 0 ) là một đường Parabol có đỉnh là I(-b/2a ; -Δ/4a ), có trục đối xứng là đường thẳng x= -b/2a, Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a>0, xuống dưới nếu a<0.

II) Cách vẽ:

1_Xác định tọa độ đỉnh I(-b/2a ; -Δ/4a ),

2_Vẽ trục đối xứng x = -b/2a.

3_Xác định tọa độ các giao điểm của Parabol với trục tung ( điểm (0;c) ) và trục hoành ( nếu có ).

Chú ý : Có thể xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn điểm đối xứng với điểm (0;c) qua trục đối xứng của Parabol, để vẽ đồ thị chính xác hơn.

4_ Vẽ Parabol.

III) Chiều biến thiên của hàm số bậc hai:

-Nếu a>0 thì hàm số y = ax²+bx+c

                +) Nghịch biến trên khoảng (-∞; -b/2a);

                +) Đồng biến trên khoảng ( -b/2a; +∞ ).

-Nếu a<0 thì hàm số y = ax²+bx+c

                +) Đồng biến trên khoảng (-∞; -b/2a);

                +) Nghịch biến trên khoảng ( -b/2a; +∞ ).

CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH. HỆ PHƯƠNG TRÌNH:

A: Đại cương về phương trình

I) Phương trình một ẩn:

-Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng:

                  f(x) = g(x)          (1)

trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f(x) là vế trái, g(x) là vế  phải của x của phương trình.

-Nếu Có số thực x₀ sao cho f(x₀) = g(x₀) là mệnh đề đúng thì x₀ được gọi là một nghiệm của phương trình (1).

-Giải và tìm tất cả các nghiệm của nó ( nghĩa là tìm tập nghiệm ).

-Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm ( tập hợp rỗng ).

II) Phương trình tương đương:

-Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

III) Phép biến đổi tương đương:

-Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương dương.

1_Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;

2_Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

IV) Phương trình hệ quả:

-Nếu mọi nghiệm của phương trình f(x) = g(x) đều là nghiệm của phương trình f₁(x) = g₁(x) thì phương trình f₁(x) = g₁(x) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x) = g(x).

Ta viết: f(x) = g(x) => f₁(x) = g₁(x).

B: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai:

I) Phương trình bậc nhất:

ax + b = 0
Hệ số		Kết luận
a ≠ 0		(1) có nghiệm duy nhất x = -b/a
a = 0	b≠0	(1) Vô nghiệm
	b=0	(1) Nghiệm đúng với mọi x

II) Phương trình bậc hai:

ax2 +bx+c = 0 (a≠0)  (2)
Δ = b2-4bc	Kết luận
Δ > 0	(2) Có 2 nghiệm phân biệt x1,2= (-b± căn(Δ) / 2a
Δ = 0	(2) có nghiệm kép –b/2a
Δ < 0	(2) Vô nghiệm

III) Định lý Vi-ét :

-Nếu phương trình bậc hai ax² + bx +c = 0 ( a≠ 0 ) có hai nghiệm x₁; x₂ thì:

                       x₁ + x₂ = -b/a  ,   x₁x₂ = c/a .

-Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u+v= S và tích uv = P thì u và v là các nghiệm của phương trình : x² – Sx + P = 0.

IV) Phương trình quy về phương trình bậc nất, bậc hai:

1_ Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:

-         Dùng định nghĩa dấu giá trị tuyệt đối.

-         Bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối.

2_Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn:

-         Bình phương hai vế để khử căn

-         Đặt ẩn phụ

-         Liên hợp

-         Đánh giá

-         ………….. ( Các bạn có thể tìm thêm các phương pháp giải khác :D )

C: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn:

I) Phương trình bậc nhất hai ẩn :

- Có dạng tổng quát là : ax + by = c   (1)

Trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0.

Chú ý: 1_Khi a = b = 0 thì phương trình lúc này có dạng 0x + 0y = c.

-         Với c ≠ 0 => vô nghiệm

-         Với c = 0 => vô số nghiệm

2_Khi b ≠ 0, phương trình ax + by = c trở thành:

y = -ax/b + c/b (2)

có cặp nghiệm ( x; y ) khi điểm M (x₀; y₀) thuộc đường thẳng (2).

D: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn :

-Hệ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là:

a₁x +b₁y = c₁ và a₂x +b₂y = c₂     (3)

trong đó x, y là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số.

-Nếu cặp số (x₀; y₀) đều là nghiệm của hai phương trình của hệ số (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (3).

-Giải hệ phương trình (3) là tập nghiệm của nó.

E: Hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn:

-Hệ ba phương trình bậc nhất 3 ẩn có dạng tổng quát là:

ax+by+cz=d

a’x+b’y+c’z=d’                 (4)

a”x+b”y+c”z=d”

trong đó z, y, z là ba ẩn ; các chữ số còn lại là các hệ số.

-Mỗi bộ ba số (x₀; y₀;z₀) nghiệm đúng cả ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (4)